最近看到一本书，叫做《在数学的雨伞下》，是一本挺好的科普著作。主要科普的是数学，以及如何用数学的角度看世界。重要的是一个叫做“雨伞定理”的解决问题模式：

如果你在雨天想要在不被淋湿的情况下从一个地方到另一个地方，请按照一下步骤操作：

• 撑开你的雨伞
• 开始你的行程
• 收起你的雨伞

这个步骤就是建立模型，在模型中解决问题，然后再使用模型的解法解释原来的问题。有了模型，就能在统一框架下思维。这个最早是在学习 FFT 时感受到的，一些复杂计算问题，先做 FFT 变换，做完变换很多复杂的计算可能变为简单的四则运算，然后再用逆 FFT 变换得到原来问题的解。

这本书更好的其实不是对数学本身的解释，而是对一些物理原理的解释。例如如何解释万有引力，用了一句话“万物落在万物之上，一刻不停”，解释相对论的时空概念，也是一句话：“万物以光速前进，一刻不停”，而对广义相对论，也总结出来“一切都在直线上运动，一刻不停”，正是这种“一刻不停”的表达，突然让人感受到了数学的浪漫。

世界是乘法的

最早接触本福特定律是在一篇报导中，说安然公司财务造假，然后其中证据之一就是这些财务数字里面开头第一个数字的规律。本符特定律是说，一些随机的数字，如果只统计有效的首位，那么1出现的概率大概在 30%，2出现的概率在15%，依次递减。在那份财务报表中，5, 6 的比例异常出现。所以就断定了造假。

这个定律比较违反直觉，人们一般会认为，1 到 2 之间，2 到 3 之间，… 8 到 9 之间这些数字都是均匀分布的，而实际与直觉有如此大的偏差。直到对数的发明，大家赫然发现，从统计规律上讲，这些数字的首位其实也是均匀的，只不过不是线性或者加法上的均匀，而是对数或者说乘法上的均匀。也就是说，1 到 2 之间的数字，与 2 到 4 之间的数字从统计上看，基本上一样多，他们和 4 到 8 之间的数字也一样多。

下面我们做一个简单的实现，n 从 0 到 999，计算 (1+0.1) 的 n 次幂，然后统计首位数字出现的次数，结果如下 {'1': 305, '2': 176, '3': 123, '4': 97, '5': 78, '6': 67, '7': 57, '8': 52, '9': 45} ，做一个简单的计算，2 和 3 出现的总次数是 299, 4, 5, 6, 7 出现的总次数也是 299, 与 1 出现的总次数 305 几乎没太大差别。所以从这个程度上，这个定律是正确的，乘法看待世界就会得出这个结果。

但是为什么呢？为什么这个世界是乘法的？书中其实说的不明不白，到最后也没明白。后来查阅了一些资料，发现，乘法就是因为这个世界是复利增长的。最直观的，兔子生兔子问题，小兔子出生后，很快成熟，又可以生兔子了。增长出来的那些事务又投入到了增长之中，所以就如同我们计算的 1.1 的幂一样。

这个定律可以应用在很多方面，例如世界上的河流总长度，超市的物品价格，包括第一个规律提到的财务数据。其本质原因是这些数据本身就是以乘法方式运作的，例如河流总长度可能是降雨量累计的的一个乘积；物品价格是原材料乘以一定比例利润等方式计算出来的，财务数据也是一样，基本逻辑依然是一些乘法计算出来的，所以他们符合这个定律。有些数据也不符合这个定律，例如人的身高数据，因为数据没有跨越数量级，有明显的上下界限等。

了解了这个定律，其实对于个人努力也是一样，为什么需要坚持以享受复利的红利，这种复利方式正是世界运转的规律。

万物落在万物之上

万有引力定律是初中物理的内容，了解这个定律可能更为熟悉牛顿被苹果砸到头的故事版本。实际上，在牛顿之前也有很多科学家，例如开普勒思考过这个问题，站在巨人的肩膀上，是科学发现真实的写照，并不仅仅是科学家的谦虚。

万物落在万物之上，一刻不停！宇宙中的任意两个物体，无论他们是什么，身在何处，都会不断的相互吸引，若无阻碍，两者都会具有相互掉落的趋势。

万物，不仅包括苹果，也包括宇宙中的天体，地球，月球等，书中还有一个浪漫的比喻：“月球像苹果一样掉落，苹果像月球一样旋转”。至于为什么不是地球朝着苹果掉落，而是苹果朝着地球掉落，其实和相对质量，以及运动的速度，旋转有关。例如如果一个人有非常大的力气，一把将苹果扔出，苹果一直飞翔，随着速度的变化，如果达到“第一宇宙速度”那苹果就可能也如月球一样，围绕地球旋转。

这种旋转着掉落更有意思的一点是，解释月球掉落时，因为月球本身速度飞快，而地球看起来又太小，所以月球的掉落总是不准，一下掉过头了，没有正面击中，就又折返回来，形成了轨道。

有限到无限的世界

分形是一个迷人的学科，上学时学图形学，画科赫雪花，迭代不了几次，电脑就卡的不行。从一个有限的面积中，能生长出无限的长度。

这个问题的来源更有意思，边境线的长度测量，原以为随着精度的提升，可以测量越来越准，但大家发现测量数据的差异越来越大。随着研究的深入，逐渐，一个数学中的恶魔探出了他的身影，这就是无穷大。

无穷大有非常多反直觉的特性，例如无穷大可以包含与自己一样的无穷大，例如全体自然数的个数是无穷大，全体偶数的个数也是无穷大，从直观上，全体偶数是全体自然数的一部分，那肯定比自然数小，但他们精确的一样大。因为将所有自然数都乘以2，就得到了全体偶数，他们是一一对应的，所以一样大。

分形也会遇到同样的问题，在一个有限面积中，会有很多种方式，让内部的曲线的长度是无穷大，面对无穷大，还有什么手段和方式呢？

答案是肯定的，就是升维，分形是一类特殊的维度，虽然是平面图形，但其维度上有了一种怪异的连续。通常情况下，一个 2 维图形，如果我们将其长宽都扩大一倍，则整体面积扩大了 4 倍，也就是我们要用之前的 4 个图形，构造成一个新的扩大的图形。这里的 4 和 2 又是对数坐标，同样，从体积上是 2 和 8 的关系，这个底数正是维度。

到了分形这里，就千奇百怪了，例如常见的谢尔宾斯基三角形，只需要三个原始三角形就能拼成一个比原来大一倍的新三角形。那他的维度是多少呢？3 对应的以2 为底的对数，嗯，1.58, 出现了小数维度！这个维度就是度量分形的最终奥秘。

读到这里，感觉打开了异世界大门，通向了一个各种离奇维度的世界，但这些世界在现实生活中又是存在的，例如海岸线，按照这种方式测量，发现维度是 1.25。理解了维度，就能准确测量长度了，只不过长度不再是 m 为单位，而是编程了 m 的 1.25 次方这样。

万物以光速前进

大学学习物理，了解了一下相对论，什么不能超过光速，什么火车经过，先看见火车尾巴，再看见火车头。但一直没有整很明白，为什么时间会膨胀？

直到在这本书里面看到一个解释：“万物以光速前进，一刻不停”。这正是把时空联系在了一起。空间的三个维度是大家非常熟悉的，经常说第四个维度是时间，但时间如何与空间维度联系起来，其实非常抽象。如果有一个时间轴，那他也应该表现出空间的特性来才好理解。

考虑时间轴，其实每过一秒，我们就朝着未来迈进了一秒，而这一秒是多少呢？从空间中度量，我们做一下时空转换，即前进了 30万公里，也就是以光速前进，一刻不停。背后的原理正是闵科夫斯基的理论：“程度和持续时间是统一概念的两种表现形式，可以将一种转换为另一种。时间相对于距离的计算必须增加一个负号。”在这种情况下，就能方便的计算有关时间膨胀等一系列比较抽象的框架了。

这里的负号正是狭义相对论的灵魂，他保证了时间不是一个简单的维度，保证了我们不能随意更改时间，也保证了光速不变，因果永存。

本来一直以为相对论跟现实没太大关系，其实在 GPS 导航中就用到了相对论原理，因为相对论效应，GPS 卫星的速度快(14000km/h), 地面观测者看到的时间会膨胀，因此每天卫星时钟会比地面慢 7.1us，同时根据广义相对论，由于引力场的变化，GPS 所在的高空引力弱(20200km)，时间又会比地面快，每天预计会快 45.8us，因此 GPS 工程必须处理这个差异的 38.7us。至于如何处理，这就是工程学的奇迹了。

其他

书中还解释了广义相对论，虫洞等数学原理，这些原理虽然与我们现实世界中没有太大关系，但在数学的描述下，他们惊人的简单。

说起雨伞，其发明颇有一些波折，雨伞出现在 18 世纪，由一个古怪的作家和旅行家乔纳斯.汉韦使用，但在当时因为抵抗雨天的基本出行方式为马车，所以他并不为世俗所理解，反而引来相当多的白眼和恶意。他持续使用了三十多年，慢慢才被社会接受，当他去世后几个月，第一批商业化的雨伞出现在英国，并逐渐获得如今的成功。

数学的雨伞也常常会遇到一些冷遇和白眼，但只要是真理，坚持下去，总会获得成功。地心说 vs 日心说，托勒密的大圆套小圆，到最后的椭圆轨迹等，无一不是说明了这一点。

数学这把雨伞，如此迷人又简单，却能解释世界最核心的秘密。